Алгебраические

Алгебраические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина содержится в алгебраических выражениях, таких как многочлены и дробные выражения.

P(x) = 0

Рациональные

Рациональные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина содержится в рациональных выражениях, т.е. в дробях, где числитель и знаменатель являются многочленами.

\cfrac{P(x)}{Q(x)} = 0

Целые

Целые уравнения — это уравнения, в которых все члены выражены целыми числами или многочленами.

Линейные

Линейные уравнения — это уравнения которые имеют в себе степень $=1,$ но не более.

ax + b = 0

x = -\cfrac{b}{a}

Квадратные

Квадратные уравнения — это уравнения которые имеют в себе степень $=2,$ но не более.

ax^2 + bx + c = 0

x_{1,2} = \cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{a}

Высших степеней

Уравнения высших степеней — это уравнения которые имеют в себе степень >2.

P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x + a_0 = 0

По теореме о рациональных корнях возможные корни: $x = \frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель свободного члена $a_0$ , $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$ . Проверяем найденный корень $x=r$ методом подстановки $P(r) = 0$ и делим многочлен $P(x)$ на $(x - r)$ пока не получим квадратное уравнение.

Дробные

Дробными называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком дроби.

\cfrac{f(x)}{g(x)} = 0 ~\Rightarrow ~ g(x) \neq 0, ~f(x) = 0

Иррациональные

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня.

\sqrt[n]{f(x)} = g(x) ~\Rightarrow ~f(x) = g(x)^n, ~f(x) \geq 0

Трансцендентные

Показательные

Показательными называются уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени.

a^{f(x)} = a^{g(x)} ~\Rightarrow ~f(x) = g(x)

a^{f(x)} = g(x) ~\Rightarrow ~ f(x) \ln a = \ln g(x)

Логарифмические

Логарифмические уравнения содержат неизвестную переменную под знаком логарифма.

\log_a f(x) = \log_a g(x) ~\Rightarrow ~f(x) = g(x), ~f(x) > 0, ~g(x) > 0

\log_a f(x) = g(x) ~\Rightarrow ~f(x) = a^{g(x)}, ~f(x) > 0

Тригонометрические

Тригонометрические уравнения содержат тригонометрические функции, такие как $\sin, \cos$ и их производные.

\sin x = c, ~x = (-1)^n \arcsin (c) + \pi n, ~n\in \mathbb{Z}

\cos x = c, ~x = 2 \pi n \pm \arccos(c), ~n \in \mathbb{Z}

\tan x = c, ~x = \arctan (c) + \pi n, ~n \in \mathbb{Z}