Сложение

Сложение — это операция, результатом которой является сумма двух слагаемых.

a + b = c

1 + 1 = 2

Сумма

Сумму обозначают $\Sigma$ , под этим знаком записывается индекс, который определяет нижнюю границу суммирования $i=m$ , выше верхняя граница $n$ , а после знака суммы записывается переменная, обозначающая каждый член в серии $a_i$ .

\sum\limits_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + \ldots + a_{n-1} + a_n

\sum\limits_{i=1}^2 1 = 1 + 1 = 2

Вычитание

Вычитание — это обратная сложению операция, результатом которой является разность уменьшаемого и вычитаемого.

a - b = c

2 - 1 = 1

Умножение

Умножение — операция, результатом которой является произведение двух множителей.

a \cdot b = \underbrace{a + a +\ldots + a}_{\text{b}} = \sum\limits_{i=1}^{b} a

1 \cdot 2 = \underbrace{1+1}_{\text{2}} = 2

Произведение

Произведение обозначают $\Pi$ , под этим знаком записывается индекс, который определяет нижнюю границу для произведения $i=m$ , выше верхняя граница $n$ , а после знака произведения записывается переменная, обозначающая каждый член в серии $a_i$ .

\prod\limits_{i=m}^n a_i = a_m \cdot a_{m+1} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n

\prod\limits_{i=1}^2 i = 1 \cdot 2 = 2

Деление

Деление — операция, результатом которой является частное делимого и делителя.

a : b = a \underbrace{- b - b - \ldots - b}_{\text{c}} = c

2 : 1 = 2\underbrace{-1-1}_{\text{2}} = 2

Возведение в степень

Возведение в степень — это операция, результатом которой является произведение основания $a$ на себя столько раз, сколько указано в показателе степени $b$ .

a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{b}} = \prod\limits_{i=1}^b a

1^2 = \underbrace{1\cdot1}_{\text{2}} = 1

Извлечение корня

Извлечение корня — это обратная возведению в степень операция, результатом которой является такое число $a$ , которое, будучи возведено в заданную степень $b$ , дает исходное число $c$ .

\sqrt[b]{c} = a, ~a^b = c

\sqrt[2]{4} = 2, ~2^2 = 4

Логарифмирование

Логарифмирование — это обратная к возведению в степень операция, результатом которой является степень $b$ , в которую нужно возвести число $a$ , чтобы получить исходное число $c$ .

\log_a c = b, ~a^b = c

\log_2 4 = 2, ~2^2 = 4

Факториал

Факториал — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до $n$ .

n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot n = \prod\limits_{i=1}^n i

2! = 1 \cdot 2 = 2

Субфактариал

Субфакториал — это количество перестановок $n$ элементов, в которых ни один элемент не остается на своем месте

!n = n! \cdot \left(1- \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n \cdot \frac{1}{n!}\right) = n! \cdot \sum\limits_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!}

!2 = 2! \cdot \left(1- \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} \right) = 1

Свойства

Свойства — это характеристики, которые помогают понять, как операции ведут себя в различных ситуациях, и какие закономерности можно использовать для упрощения вычислений.

Коммутативность

Операция коммутативна, если порядок чисел не влияет на результат.

a + b = b + a

1 + 2 = 2 + 1 = 3

a \cdot b = b \cdot a

1 \cdot 2 = 2 \cdot 1 = 2

Ассоциативность

Операция ассоциативна, если при выполнении последовательности операций результат не зависит от расстановки скобок.

a + (b + c) = c + (a + b)

1 + (2 + 3) = 3 + (1 + 2) = 6

a \cdot (b \cdot c) = c \cdot (a \cdot b)

1 \cdot (2 \cdot 3) = 3 \cdot (1 \cdot 2) = 6

Дистрибутивность

Дистрибутивность — это свойство, которое связывает две операции.

a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)

1 \cdot (2 + 3) = (1 \cdot 2) + (1 \cdot 3) = 5